Больцмановское обучение
Этот стохастический метод непосредственно применим к обучению искусственных нейронных сетей:
1.
Определить переменную Т, представляющую искусственную температуру. Придать Т большое начальное значение.
2. Предъявить сети множество входов и вычислить выходы и целевую функцию.
3. Дать случайное изменение весу и пересчитать выход сети и изменение целевой функции в соответствии со сделанным изменением веса.
4. Если целевая функция уменьшилась (улучшилась), то сохранить изменение веса.
Если изменение веса приводит к увеличению целевой функции, то вероятность сохранения этого изменения вычисляется с помощью распределения Больцмана:
P(c) = exp(–c/kT) (5.2)
где Р(с) – вероятность изменения с в целевой функции; k
– константа, аналогичная константе Больцмана, выбираемая в зависимости от задачи; Т – искусственная температура.
Выбирается случайное число r
из равномерного распределения от нуля до единицы. Если Р(с) больше, чем r, то изменение сохраняется, в противном случае величина веса возвращается к предыдущему значению.
Это позволяет системе делать случайный шаг в направлении, портящем целевую функцию, позволяя ей тем самым вырываться из локальных минимумов, где любой малый шаг увеличивает целевую функцию.
Для завершения больцмановского обучения повторяют шаги 3 и 4 для каждого
из весов сети, постепенно уменьшая температуру Т,
пока не будет достигнуто допустимо низкое значение целевой функции. В этот момент предъявляется другой входной вектор и процесс обучения повторяется. Сеть обучается на всех векторах обучающего множества, с возможным повторением, пока целевая функция не станет допустимой для всех них.
Величина случайного изменения веса на шаге 3 может определяться различными способами. Например, подобно тепловой системе весовое изменение w
может выбираться в соответствии с гауссовским распределением:
P(w) = exp(–w2/T2) (5.2)
где
P(w) – вероятность изменения веса на величину w, Т – искусственная температура.
Такой выбор изменения веса приводит к системе, аналогичной [З].
Так как нужна величина изменения веса ?w, а не вероятность изменения веса, имеющего величину w, то метод Монте-Карло может быть использован следующим образом:
1. Найти кумулятивную вероятность, соответствующую P(w).
Это есть интеграл от P(w) в пределах от 0 до w. Так как в данном случае P(w) не может быть проинтегрирована аналитически, она должна интегрироваться численно, а результат необходимо затабулировать.
2. Выбрать случайное число из равномерного распределения на интервале (0,1). Используя эту величину в качестве значения P(w}, найти в таблице соответствующее значение для величины изменения веса.
Свойства машины Больцмана широко изучались. В работе [1] показано, что скорость уменьшения температуры должна быть обратно пропорциональна логарифму времени, чтобы была достигнута сходимость к глобальному минимуму. Скорость охлаждения в такой системе выражается следующим образом:
где
T(t)
– искусственная температура как функция времени; Т0 – начальная искусственная температура; t – искусственное время.
Этот разочаровывающий результат предсказывает очень медленную скорость охлаждения (и данные вычисления). Этот вывод подтвердился экспериментально. Машины Больцмана часто требуют для обучения очень большого ресурса времени.
